Le produit salaire en accéléré

Définition Produit scalaire

Soit \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs du plan et \(\text A,\text B,\text C\) trois points tels que \(\vec{u}=\vec{\text A\text B}\) et   \(\vec{v}=\vec{\text A\text C}\).

Le produit scalaire des vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), noté \(\vec{u} \cdot{} \vec{v}\) , est le nombre réel défini par :

• si \(\vec{u}\ne \vec{0}\) et \(\vec{v}\ne \vec{0}\),   \(\vec{u} \cdot{} \vec{v}=\lVert \vec{u} \rVert\times \lVert \vec{v} \rVert\times \cos(\vec{u};\vec{v})=\text A\text B\times \text A\text C\times \cos(\vec{\text A\text B};\vec{\text A\text C})\) ;
  
• si \(\vec{u} = \vec{0}\) ou \(\vec{v} = \vec{0}\),     \(\vec{u} \cdot{} \vec{v}=0\).
  

Définition Carré scalaire

Soit \(\vec{u}\) un vecteur. Le carré scalaire de \(\vec{u}\) , noté \(\vec{u}^2\), est le nombre réel défini par  \(\vec{u}^2=\vec{u}\cdot\vec{u}\).

La définition du produit scalaire entraîne \(\vec{u}^2=\lVert\vec{u}\lVert^2\) (car \(\text{cos}(0) = 1\)).

Définition Vecteurs orthogonaux

Soit \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs du plan et \(\text A,\text B,\text C\) trois points tels que \(\vec{u}=\vec{\text A\text B}\) et   \(\vec{v}=\vec{\text A\text C}\). 
On dit que les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux si et seulement si les droites \((\text A\text B)\) et \((\text A\text C)\) sont perpendiculaires.

Propriété Orthogonalité et produit scalaire

Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) du plan sont orthogonaux si et seulement si \(\vec{u} \cdot \vec{v}=0.\)

Propriétés Calcul avec le produit scalaire

Pour tous vecteurs \(\vec{u},\vec{v},\vec{a} \text{ et } \vec{b}\) du plan, on a les résultats suivants :

• \(\boxed{\left( \vec{u} + \vec{v} \right) \cdot{} \left( \vec{a} + \vec{b} \right) = \vec{u} \cdot{} \vec{a} + \vec{u} \cdot{} \vec{b} + \vec{v} \cdot{} \vec{a} + \vec{v} \cdot{} \vec{b}}\)
  
• \(\boxed{\vec{u} \cdot{} \vec{v} = \vec{v} \cdot{} \vec{u}}\)
  
• \(\boxed{\vec{u} \cdot{} (-\vec{v}) = - \vec{u} \cdot{} \vec{v}}\)